미적분 예제

$y = 6 x^{3} e^{- x}$

단계 1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{3} e^{- x}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$6 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$6 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$6 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{3} (- e^{- x})) + 6 (e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 6 (x^{3} (e^{- x})) + 6 (e^{- x} (3 x^{2}))$

단계 5.2.2

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 6 x^{3} e^{- x} + 18 e^{- x} x^{2}$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 6 e^{- x} x^{3} + 18 e^{- x} x^{2}$

단계 5.4

$- 6 e^{- x} x^{3} + 18 e^{- x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 6 x^{3} e^{- x} + 18 x^{2} e^{- x}$