미적분 예제

$y = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + 1}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{r^{2} + 1}$ 을(를) ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (r) = r$ , $g (r) = {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ 는 $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3

${({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{1}}$

단계 4

간단히 합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

단계 5.2

${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

단계 6

$f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ , $g (r) = r^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 는 $f' (g (r)) g' (r)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $r^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

단계 6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

단계 6.3

$u$ 를 모두 $r^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

단계 7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

단계 8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

단계 9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

단계 10

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

단계 10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

단계 11

분수를 통분합니다.

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단계 11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

단계 11.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{{(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

단계 11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

단계 11.4

$\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $r$ 을 묶습니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1]}{r^{2} + 1}$

단계 12

합의 법칙에 의해 $r^{2} + 1$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1])}{r^{2} + 1}$

단계 13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [1])}{r^{2} + 1}$

단계 14

$1$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0)}{r^{2} + 1}$

단계 15

분수를 통분합니다.

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단계 15.1

$2 r$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r)}{r^{2} + 1}$

단계 15.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 1}$

단계 15.3

$- 2$ 와 $\frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 1}$

단계 15.4

$\frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $r$ 을 묶습니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r \cdot r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 16

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r)}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 17

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r^{1})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{1 + 1}}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 19

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{2}}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 20

$- 2 r^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 21

공약수로 약분합니다.

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단계 21.1

$2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 ({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{r^{2} + 1}$

단계 21.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 21.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 23

공통 분모를 가지는 분수로 ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 25

지수를 더하여 ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 25.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 25.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 25.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 25.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 26

${(r^{2} + 1)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\frac{r^{2} + 1 - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 27

$r^{2}$ 에서 $r^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{0 + 1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 28

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

단계 29

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 1}$

단계 30

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{r^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 1)}$

단계 31

지수를 더하여 ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $r^{2} + 1$ 을 곱합니다.

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단계 31.1

${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $r^{2} + 1$ 을 곱합니다.

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단계 31.1.1

$r^{2} + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{1}}$

단계 31.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 31.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 31.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 31.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$