미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

단계 1.1.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

$- 24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 24 x^{2}$ 의 미분은 $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

단계 1.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

단계 1.1.1.2.3

$2$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

단계 1.1.1.3.3

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 48 x + 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.1.2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.1.2.3.3

$- 48$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.1.2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.4.1

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

단계 1.1.2.4.2

$12 x^{2} - 48$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $12 x^{2} - 48$ 입니다.

$12 x^{2} - 48$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 x^{2} - 48 = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$12 x^{2} - 48 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $48$ 를 더합니다.

$12 x^{2} = 48$

단계 1.2.3

$12 x^{2} = 48$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$12 x^{2} = 48$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

단계 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{48}{12}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.3.1

$48$ 을 $12$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 4$

단계 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 1.2.5

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 1.2.5.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 1.2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 1.2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 1.2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 1.2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4) = 12 {(- 4)}^{2} - 48$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = 12 \cdot 16 - 48$

단계 4.2.1.2

$12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = 192 - 48$

단계 4.2.2

$192$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f'' (- 4) = 144$

단계 4.2.3

최종 답은 $144$ 입니다.

$144$

단계 4.3

$f'' (- 4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(- 2, 2)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

단계 5.2.1.2

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 48$

단계 5.2.2

$0$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 48$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 48$ 입니다.

$- 48$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- 2, 2)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 2, 2)$ 에서 아래로 오목함

단계 6

$(2, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 48$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 48$

단계 6.2.1.2

$12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 192 - 48$

단계 6.2.2

$192$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = 144$

단계 6.2.3

최종 답은 $144$ 입니다.

$144$

단계 6.3

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(2, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 2, 2)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8