미적분 예제

$x^{2} \arctan (x)$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \arctan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

$\arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$x^{2} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $\arctan (x) (2 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

단계 6.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

단계 6.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

단계 6.2.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x))}{1 + x^{2}}$

단계 6.2.1.3.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x^{1}))}{1 + x^{2}}$

단계 6.2.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{2 + 1})}{1 + x^{2}}$

단계 6.2.1.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{3})}{1 + x^{2}}$

단계 6.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}}{1 + x^{2}}$

단계 6.2.2

$x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$