미적분 예제

$x e^{x y}$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (e^{x y} y) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

단계 3.5

$e^{x y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (e^{x y} y) + e^{x y}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x y} x y + e^{x y}$

단계 4.2

$e^{x y} x y + e^{x y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x y e^{x y} + e^{x y}$