미적분 예제

${(\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)})}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

단계 2

$2$ 와 $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

단계 3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 1 + \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $1 + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 5.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 6

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 7

곱합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 7.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 8

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 9

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 12

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ 에 $\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{(1 + \cos (x)) {(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 13

지수를 더하여 $1 + \cos (x)$ 에 ${(1 + \cos (x))}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 13.1

$1 + \cos (x)$ 에 ${(1 + \cos (x))}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1

$1 + \cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{1} {(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 13.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{1 + 2}}$

단계 13.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \sin (x) (1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

단계 14.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \sin (x) (1 \cos (x)) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

단계 14.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.3.1

$2 \sin (x)$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1 \cdot (2 \sin (x)) \cos (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

단계 14.3.2

$1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

단계 14.3.3

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\frac{\sin (2 x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

단계 14.3.4

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

단계 14.3.5

지수를 더하여 $\sin (x)$ 에 $\sin^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 14.3.5.1

$\sin^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

단계 14.3.5.2

$\sin^{2} (x)$ 에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 14.3.5.2.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

단계 14.3.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 {\sin (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

단계 14.3.5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

단계 14.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos (x) \sin (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$