미적분 예제

$\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$

단계 1

$f (x) = x^{2} - 9$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.4.2

$x - 3$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.7

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 9) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 9) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 9)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 9}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 9}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 9}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 9}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 9}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.5

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.5.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.5.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

단계 3.5.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.5.4

$a = x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.6

${(x - 3)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$1$