미적분 예제

$\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$

단계 1

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$

단계 2

$f (t) = \ln (t)$ , $g (t) = a t - b t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 3

$\ln (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{t}$ 입니다.

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $a t - b t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}]$ 가 됩니다.

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 4.2

$a$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $a t$ 의 미분은 $a \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 4.4

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 4.5

$- b$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- b t^{2}$ 의 미분은 $- b \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 4.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b (2 t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 4.7.2

$3$ 와 $\frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 ((a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) a - \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1.1

$a t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 a + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.2

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.2.1

$- b t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 a + 3 (- b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 a - 3 (b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.4

$3 (- \ln (t) a)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.4.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - 3 (\ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.4.2

$\ln (t)$ 와 $- 3$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - 3 \cdot \ln (t) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.4.3

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \cdot \ln (t)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.5

$- \ln (t) (- 2 b t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.5.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (2 \ln (t) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.5.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (t)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (\ln (t^{2}) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.6

$3 (\ln (t^{2}) (b t))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.6.1

$\ln (t^{2})$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 \cdot \ln (t^{2}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.6.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \cdot \ln (t^{2})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln ({(t^{2})}^{3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.7

${(t^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{2 \cdot 3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.1.7.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.4.2

$3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

단계 5.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - t^{2} b)}^{2}}$

단계 5.6

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$a t - t^{2} b$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1.1

$a t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a - t^{2} b)}^{2}}$

단계 5.6.1.2

$- t^{2} b$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a + t (- t b))}^{2}}$

단계 5.6.1.3

$t a + t (- t b)$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t (a - t b))}^{2}}$

단계 5.6.2

$t (a - t b)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{t^{2} {(a - t b)}^{2}}$