미적분 예제

$f (t) = {(\frac{1}{t - 3})}^{2}$

단계 1

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = \frac{1}{t - 3}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{1}{t - 3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{1}{t - 3}$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{1}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

단계 2

분수를 통분합니다.

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단계 2.1

$2$ 와 $\frac{1}{t - 3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

단계 2.2

$\frac{1}{t - 3}$ 을 ${(t - 3)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{- 1}]$

단계 3

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = t - 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $t - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{t - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t - 3])$

단계 3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{t - 3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $t - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{t - 3} (- {(t - 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

단계 4

분수를 통분합니다.

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단계 4.1

$\frac{2}{t - 3}$ 와 ${(t - 3)}^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2 {(t - 3)}^{- 2}}{t - 3} \frac{d}{d t} [t - 3]$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(t - 3)}^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{2}{(t - 3) {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

단계 5

지수를 더하여 $t - 3$ 에 ${(t - 3)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$t - 3$ 에 ${(t - 3)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.1

$t - 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1} {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

단계 5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1 + 2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

단계 5.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

단계 6

합의 법칙에 의해 $t - 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 가 됩니다.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])$

단계 7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])$

단계 8

$- 3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + 0)$

단계 9

식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \cdot 1$

단계 9.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}}$