미적분 예제

$y = 16 \sqrt{x}$ , $(16, 64)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 16$ , $y = 64$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [16 x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 1.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$16 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 1.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$16 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.10

$16$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{16 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{16}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.12

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13

공약수로 약분합니다.

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단계 1.13.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

단계 1.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.14

$x = 16$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{8}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.15

간단히 합니다.

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단계 1.15.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.15.1.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.15.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{8}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 1.15.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.15.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 1.15.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8}{4^{1}}$

단계 1.15.1.4

지수값을 계산합니다.

$\frac{8}{4}$

단계 1.15.2

$8$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$2$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $2$ 과 주어진 점 $(16, 64)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (64) = 2 \cdot (x - (16))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 64 = 2 \cdot (x - 16)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$2 \cdot (x - 16)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 64 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 16)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 64 = 2 \cdot (x - 16)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 64 = 2 x + 2 \cdot - 16$

단계 2.3.1.4

$2$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$y - 64 = 2 x - 32$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $64$ 를 더합니다.

$y = 2 x - 32 + 64$

단계 2.3.2.2

$- 32$ 를 $64$ 에 더합니다.

$y = 2 x + 32$

단계 3