미적분 예제

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = - x^{2} + 1$ 일 때 $V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

피적분함수를 간단히 합니다.

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단계 2.1

${(- x^{2} + 1)}^{2}$ 을 $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.4

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.6

$- x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.7

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

단계 2.3.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

단계 5

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

단계 6

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

단계 8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

단계 10

답을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ 와 $x]_{- 1}^{1}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

단계 10.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$1$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{5}}{5} + x$ 값을 계산합니다.

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

단계 10.2.2

$1$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3

간단히 합니다.

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단계 10.2.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.4

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.5

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.8

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.2.3.10.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.10.2

$- 1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.12

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.13

$\frac{6}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.15

$6$ 를 $6$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.16

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 10.2.3.17

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

단계 10.2.3.18

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

단계 10.2.3.19

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

단계 10.2.3.20

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

단계 10.2.3.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

단계 10.2.3.22

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

단계 10.2.3.23

$- 2$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

단계 10.2.3.24

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

단계 10.2.3.25

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

단계 10.2.3.26

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{12}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

단계 10.2.3.27

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

단계 10.2.3.28

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 10.2.3.28.1

$\frac{12}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

단계 10.2.3.28.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

단계 10.2.3.28.3

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

단계 10.2.3.28.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

단계 10.2.3.29

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

단계 10.2.3.30

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.2.3.30.1

$12$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

단계 10.2.3.30.2

$- 4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

단계 10.2.3.30.3

$36$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$V = π (\frac{16}{15})$

단계 10.2.3.31

$π$ 와 $\frac{16}{15}$ 을 묶습니다.

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

단계 10.2.3.32

$π$ 의 왼쪽으로 $16$ 이동하기

$V = \frac{16 π}{15}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = \frac{16 π}{15}$

소수 형태:

$V = 3.35103216 \dots$

단계 12