미적분 예제

$y = x^{\frac{5}{4}}$ , $y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$

단계 1.2

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

두 지수에 최소공분모를 곱하여 분수의 지수를 소거합니다.

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

단계 1.2.2

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

단계 1.2.2.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

단계 1.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{5} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

단계 1.2.3

${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$3 x^{\frac{1}{4}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{5} = 3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

단계 1.2.3.2

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$x^{5} = 81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

단계 1.2.3.3

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

단계 1.2.3.3.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

단계 1.2.3.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{5} = 81 x^{1}$

단계 1.2.3.4

간단히 합니다.

$x^{5} = 81 x$

단계 1.2.4

방정식의 양변에서 $81 x$ 를 뺍니다.

$x^{5} - 81 x = 0$

단계 1.2.5

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x^{5} - 81 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

단계 1.2.5.1.2

$- 81 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

단계 1.2.5.1.3

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} - 81) = 0$

단계 1.2.5.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

단계 1.2.5.3

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

단계 1.2.5.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 9$ 입니다.

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

단계 1.2.5.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.5.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

단계 1.2.5.5.1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.5.1.2.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

단계 1.2.5.5.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

단계 1.2.5.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

단계 1.2.6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

단계 1.2.7

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.8

$x^{2} + 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.1

$x^{2} + 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 9 = 0$

단계 1.2.8.2

$x^{2} + 9 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.2.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 9$

단계 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

단계 1.2.8.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.2.3.1

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

단계 1.2.8.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

단계 1.2.8.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

단계 1.2.8.2.3.4

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

단계 1.2.8.2.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 3$

단계 1.2.8.2.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \pm 3 i$

단계 1.2.8.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 3 i$

단계 1.2.8.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 3 i$

단계 1.2.8.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3 i, - 3 i$

단계 1.2.9

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 1.2.9.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 1.2.10

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 1.2.10.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 1.2.11

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

단계 1.3.2

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$

단계 1.3.2.2

$3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1

$0$ 을 $0^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 3 \cdot {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

단계 1.3.2.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

단계 1.3.2.2.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

단계 1.3.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 3 \cdot 0^{1}$

단계 1.3.2.2.3

지수값을 계산합니다.

$y = 3 \cdot 0$

단계 1.3.2.2.4

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = 3 i$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $3 i$ 를 대입합니다.

$y = 3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$

단계 1.4.2

$3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$3 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = 3 (3^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}})$

단계 1.4.2.2

지수를 더하여 $3$ 에 $3^{\frac{1}{4}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

$3^{\frac{1}{4}}$ 를 옮깁니다.

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3 i^{\frac{1}{4}}$

단계 1.4.2.2.2

$3^{\frac{1}{4}}$ 에 $3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.2.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{1} i^{\frac{1}{4}}$

단계 1.4.2.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = 3^{\frac{1}{4} + 1} i^{\frac{1}{4}}$

단계 1.4.2.2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = 3^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

단계 1.4.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 3^{\frac{1 + 4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

단계 1.4.2.2.5

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

단계 1.5

$x = - 3 i$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$x$ 에 $- 3 i$ 를 대입합니다.

$y = 3 {(- 3 i)}^{\frac{1}{4}}$

단계 1.5.2

$- 3 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

단계 1.6

$x$ 에 $- 3$ 를 대입합니다.

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}$

단계 1.7

$x = 3$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$

단계 1.7.2

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$ 에서 $x$ 에 $3$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

단계 1.7.2.2

지수를 더하여 $3$ 에 $3^{\frac{1}{4}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.2.2.1

$3$ 에 $3^{\frac{1}{4}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.2.2.1.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

단계 1.7.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = 3^{1 + \frac{1}{4}}$

단계 1.7.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = 3^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

단계 1.7.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 3^{\frac{4 + 1}{4}}$

단계 1.7.2.2.4

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = 3^{\frac{5}{4}}$

단계 1.8

모든 해를 나열합니다.

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

단계 2

주어진 두 곡선 사이의 넓이는 무한합니다.

무한한 넓이

단계 3