미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.1.2.2

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.1.2.3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.1.2.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.1.2.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.1.2.4.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0^{3}}$

단계 1.1.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\tan (x) - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 1.3.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 1.3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 1.3.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 1.3.5

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 1.3.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{3 x^{2}}$

단계 2

$\frac{1}{3}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 3.1.2.1.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 3.1.2.1.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\sec^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 3.1.2.1.4

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 3.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1

$- 1$ 와 $\sec^{2} (0)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (0) - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 3.1.2.3.2

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 3.1.2.3.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 3.1.2.3.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 3.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

단계 3.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

단계 3.1.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 3.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.4

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.4.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.4.1.3

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.4.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.4.3

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.4.4

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$0$ 를 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.5.2

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.5.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.5.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.5.5

$2$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.5.6

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.5.7

조합합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.5.8

지수를 더하여 $\cos^{2} (x)$ 에 $\cos (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.8.1

$\cos^{2} (x)$ 에 $\cos (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.8.1.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.5.8.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.5.8.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 x}$

단계 3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1}{2 x}$

단계 3.5

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ 에 $\frac{1}{2 x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

단계 3.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

단계 3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

단계 4.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

단계 4.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

단계 4.1.2.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

단계 4.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

단계 4.1.3.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\cos^{3} (x)$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} x}$

단계 4.1.3.3

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

단계 4.1.3.4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.4.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

단계 4.1.3.4.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot 0}$

단계 4.1.3.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{3} \cdot 0}$

단계 4.1.3.5.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot 0}$

단계 4.1.3.5.3

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 4.1.3.5.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 4.1.3.6

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 4.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 4.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

단계 4.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

단계 4.3.3

$f (x) = \cos^{3} (x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

단계 4.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

단계 4.3.5

$\cos^{3} (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

단계 4.3.6

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

단계 4.3.6.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

단계 4.3.6.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

단계 4.3.7

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}$

단계 4.3.8

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

단계 4.3.9

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

단계 5.2

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

단계 5.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

단계 5.4

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

단계 5.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

단계 5.6

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

단계 5.7

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

단계 5.8

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

단계 5.9

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\cos^{3} (x)$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}$

단계 5.10

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

단계 6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

단계 6.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

단계 6.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

단계 6.4

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

단계 6.5

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

단계 7.2.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

단계 7.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

단계 7.2.4

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

단계 7.2.5

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos^{3} (0)}$

단계 7.2.6

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (0)}$

단계 7.2.7

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1^{3}}$

단계 7.2.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

단계 7.2.9

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

단계 7.3

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

단계 7.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

단계 7.4

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{3}$

소수 형태:

$0.\overline{3}$