미적분 예제

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(x + h)}^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x^{2}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(x + 0)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3

${(x + 0)}^{2} - x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3.2

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.2

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x (x + h) + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + h x + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.2.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6

$x^{2}$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.7

$\frac{d}{d h} [2 h x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.7.1

$2 x$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $2 h x$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d h} [h]$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.7.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.9

$- x^{2}$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- x^{2}$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- x^{2}$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.10.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.10.1.1

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.10.1.2

$2 x + 2 h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.10.2

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{1}$

단계 1.4

$2 h + 2 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 2 h + 2 x$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 2 x$

단계 2.2

$2$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x$

단계 2.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2 x$ 의 극한을 구합니다.

$2 lim_{h \to 0} h + 2 x$

단계 3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$2 \cdot 0 + 2 x$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 2 x$

단계 4.2

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$