미적분 예제

$y = {(2 x + 1)}^{4 x}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 x})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

${(2 x + 1)}^{4 x}$ 을 $e^{\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})}]$

단계 3.1.2

$4 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x \ln (2 x + 1)}]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x \ln (2 x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x \ln (2 x + 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x \ln (2 x + 1)$ 로 바꿉니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

단계 3.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x \ln (2 x + 1)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$ 입니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)])$

단계 3.4

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (2 x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.5

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 2 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.5.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.5.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6

미분합니다.

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단계 3.6.1

$\frac{1}{2 x + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6.7

분수를 통분합니다.

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단계 3.6.7.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6.7.2

$\frac{x}{2 x + 1}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6.7.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1))$

단계 3.6.9

$\ln (2 x + 1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1)))$

단계 3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (2 x + 1)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ 을 곱합니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}))$

단계 3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 \frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1})$

단계 3.9

$4$ 와 $\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$ 을 묶습니다.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} \frac{4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$

단계 3.10

$e^{4 x \ln (2 x + 1)}$ 와 $\frac{4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

단계 3.11

간단히 합니다.

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단계 3.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (2 x) + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.11.2.1

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $4 \ln (2 x + 1)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (4 (2 x) + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.11.2.2.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.2.4

$\ln (2 x + 1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.2.5

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (2 x + 1)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.2.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.2.7

$4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.11.2.2.7.1

$\ln ({(2 x + 1)}^{2})$ 와 $4$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.2.7.2

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $4 \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{4}) x + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.2.8

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $4 \ln (2 x + 1)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{4}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.2.9

${({(2 x + 1)}^{2})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.11.2.2.9.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2 \cdot 4}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.2.9.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({(2 x + 1)}^{8}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

단계 3.11.2.5

$8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{8 x e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} + x e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

단계 3.11.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$