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미적분 예제
단계 1
단계 1.1
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 1.1.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.2
미분합니다.
단계 1.2.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.3
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 1.2.4
식을 간단히 합니다.
단계 1.2.4.1
를 에 더합니다.
단계 1.2.4.2
에 을 곱합니다.
단계 1.2.4.3
인수를 다시 정렬합니다.
단계 2
단계 2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.2
, 일 때 는 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 2.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 2.4
미분합니다.
단계 2.4.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 2.4.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.4.3
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 2.4.4
식을 간단히 합니다.
단계 2.4.4.1
를 에 더합니다.
단계 2.4.4.2
에 을 곱합니다.
단계 2.5
를 승 합니다.
단계 2.6
를 승 합니다.
단계 2.7
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 2.8
를 에 더합니다.
단계 2.9
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.10
에 을 곱합니다.
단계 2.11
간단히 합니다.
단계 2.11.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.11.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.11.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.11.4
항을 묶습니다.
단계 2.11.4.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 2.11.4.1.1
를 옮깁니다.
단계 2.11.4.1.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 2.11.4.1.3
를 에 더합니다.
단계 2.11.4.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 2.11.4.3
에 을 곱합니다.
단계 2.11.4.4
에 을 곱합니다.
단계 2.11.4.5
의 왼쪽으로 이동하기
단계 2.11.4.6
에 을 곱합니다.
단계 2.11.5
각 항을 간단히 합니다.
단계 2.11.5.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.11.5.2
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
단계 2.11.5.2.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.11.5.2.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.11.5.2.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.11.5.3
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
단계 2.11.5.3.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 2.11.5.3.1.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 2.11.5.3.1.1.1
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 2.11.5.3.1.1.2
를 에 더합니다.
단계 2.11.5.3.1.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 2.11.5.3.1.3
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.11.5.3.1.4
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.11.5.3.1.5
에 을 곱합니다.
단계 2.11.5.3.2
에서 을 뺍니다.
단계 2.11.5.4
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.11.5.5
간단히 합니다.
단계 2.11.5.5.1
에 을 곱합니다.
단계 2.11.5.5.2
에 을 곱합니다.
단계 2.11.6
를 에 더합니다.
단계 2.11.7
에서 을 뺍니다.
단계 3
함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 으로 두고 식을 풉니다.
단계 4
단계 4.1
1차 도함수를 구합니다.
단계 4.1.1
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.1.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 4.1.1.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.1.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 4.1.2
미분합니다.
단계 4.1.2.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 4.1.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.2.3
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 4.1.2.4
식을 간단히 합니다.
단계 4.1.2.4.1
를 에 더합니다.
단계 4.1.2.4.2
에 을 곱합니다.
단계 4.1.2.4.3
인수를 다시 정렬합니다.
단계 4.2
의 에 대한 1차 도함수는 입니다.
단계 5
단계 5.1
1차 도함수가 이 되게 합니다.
단계 5.2
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
단계 5.3
를 와 같다고 둡니다.
단계 5.4
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 5.4.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 5.4.2
을 에 대해 풉니다.
단계 5.4.2.1
방정식의 좌변을 인수분해합니다.
단계 5.4.2.1.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.4.2.1.2
두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 이고 입니다.
단계 5.4.2.1.3
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 5.4.2.2
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
단계 5.4.2.3
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 5.4.2.3.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 5.4.2.3.2
을 에 대해 풉니다.
단계 5.4.2.3.2.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 5.4.2.3.2.2
방정식의 양변에서 를 뺍니다.
단계 5.4.2.4
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 5.4.2.4.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 5.4.2.4.2
을 에 대해 풉니다.
단계 5.4.2.4.2.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 5.4.2.4.2.2
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 5.4.2.5
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
단계 5.5
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
단계 6
단계 6.1
식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.
단계 7
계산할 임계점.
단계 8
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 9
단계 9.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 9.1.1
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 9.1.2
에 을 곱합니다.
단계 9.1.3
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 9.1.4
에 을 곱합니다.
단계 9.2
숫자를 더해 식을 간단히 합니다.
단계 9.2.1
를 에 더합니다.
단계 9.2.2
를 에 더합니다.
단계 10
이계도함수가 양수이므로 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극소값입니다.
단계 11
단계 11.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 11.2
결과를 간단히 합니다.
단계 11.2.1
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 11.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 11.2.3
를 승 합니다.
단계 11.2.4
최종 답은 입니다.
단계 12
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 13
단계 13.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 13.1.1
를 승 합니다.
단계 13.1.2
에 을 곱합니다.
단계 13.1.3
를 승 합니다.
단계 13.1.4
에 을 곱합니다.
단계 13.2
더하고 빼서 식을 간단히 합니다.
단계 13.2.1
에서 을 뺍니다.
단계 13.2.2
를 에 더합니다.
단계 14
단계 14.1
1차 미분값이 또는 정의되지 않게 하는 값 주변 구간으로 을 나눕니다.
단계 14.2
1차 도함수 의 구간에서 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.
단계 14.2.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 14.2.2
결과를 간단히 합니다.
단계 14.2.2.1
에 을 곱합니다.
단계 14.2.2.2
를 승 합니다.
단계 14.2.2.3
에서 을 뺍니다.
단계 14.2.2.4
를 승 합니다.
단계 14.2.2.5
에 을 곱합니다.
단계 14.2.2.6
최종 답은 입니다.
단계 14.3
1차 도함수 의 구간에서 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.
단계 14.3.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 14.3.2
결과를 간단히 합니다.
단계 14.3.2.1
에 을 곱합니다.
단계 14.3.2.2
를 승 합니다.
단계 14.3.2.3
에서 을 뺍니다.
단계 14.3.2.4
를 승 합니다.
단계 14.3.2.5
에 을 곱합니다.
단계 14.3.2.6
최종 답은 입니다.
단계 14.4
1차 도함수 의 구간에서 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.
단계 14.4.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 14.4.2
결과를 간단히 합니다.
단계 14.4.2.1
에 을 곱합니다.
단계 14.4.2.2
를 승 합니다.
단계 14.4.2.3
에서 을 뺍니다.
단계 14.4.2.4
를 승 합니다.
단계 14.4.2.5
에 을 곱합니다.
단계 14.4.2.6
최종 답은 입니다.
단계 14.5
1차 도함수 의 구간에서 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.
단계 14.5.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 14.5.2
결과를 간단히 합니다.
단계 14.5.2.1
에 을 곱합니다.
단계 14.5.2.2
를 승 합니다.
단계 14.5.2.3
에서 을 뺍니다.
단계 14.5.2.4
를 승 합니다.
단계 14.5.2.5
에 을 곱합니다.
단계 14.5.2.6
최종 답은 입니다.
단계 14.6
1차 도함수의 부호가 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.
극댓값 또는 극솟값이 아님
단계 14.7
1차 도함수의 부호가 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 은 극솟값입니다.
은 극소값입니다.
단계 14.8
1차 도함수의 부호가 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.
극댓값 또는 극솟값이 아님
단계 14.9
에 대한 극값입니다.
은 극소값입니다.
은 극소값입니다.
단계 15