미적분 예제

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{4} + 27$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4} + 27$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{4} + 27$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

단계 1.2.3

$27$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $27$ 입니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

단계 1.2.4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

단계 1.2.4.2

$4$ 와 $\frac{1}{x^{4} + 27}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

단계 1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

단계 2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{4} + 27$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

단계 2.3.2

$x^{4} + 27$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

단계 2.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

단계 2.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

단계 2.3.5

$27$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $27$ 입니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

단계 2.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

단계 2.3.6.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

단계 2.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

단계 2.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

단계 2.4.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

단계 2.5

$4$ 와 $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.6.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.6.4.1.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.6.4.1.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.1.3

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.3

$3$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.4

$81$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.5

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.6.4.2

$12 x^{6}$ 에서 $16 x^{6}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{4} + 27$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4} + 27$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

단계 4.1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

단계 4.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{4} + 27$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

단계 4.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

단계 4.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

단계 4.1.2.3

$27$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $27$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

단계 4.1.2.4

분수를 통분합니다.

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단계 4.1.2.4.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

단계 4.1.2.4.2

$4$ 와 $\frac{1}{x^{4} + 27}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

단계 4.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ 입니다.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 x^{3} = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.1

$4 x^{3} = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$4 x^{3} = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

단계 5.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

단계 5.3.1.2.1.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} = \frac{0}{4}$

단계 5.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x^{3} = 0$

단계 5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 5.3.3

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 5.3.3.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{- 4 {(0)}^{6} + 324 {(0)}^{2}}{{({(0)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{- 4 \cdot 0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9.1.2

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0 + 324 \cdot 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9.1.4

$324$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9.1.5

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{{(0 + 27)}^{2}}$

단계 9.2.2

$0$ 를 $27$ 에 더합니다.

$\frac{0}{27^{2}}$

단계 9.2.3

$27$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{0}{729}$

단계 9.3

$0$ 을 $729$ 로 나눕니다.

$0$

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{4} + 27}$

단계 10.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{{(- 2)}^{4} + 27}$

단계 10.2.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{16 + 27}$

단계 10.2.2.2.2

$16$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{43}$

단계 10.2.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.3.1

$4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 32}{43}$

단계 10.2.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 2) = - \frac{32}{43}$

단계 10.2.2.4

최종 답은 $- \frac{32}{43}$ 입니다.

$- \frac{32}{43}$

단계 10.3

1차 도함수 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ 의 $(0, \infty)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{{(2)}^{4} + 27}$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{2^{4} + 27}$

단계 10.3.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{2^{4} + 27}$

단계 10.3.2.1.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (2) = \frac{2^{5}}{2^{4} + 27}$

단계 10.3.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{2^{5}}{16 + 27}$

단계 10.3.2.2.2

$16$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f' (2) = \frac{2^{5}}{43}$

단계 10.3.2.3

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{32}{43}$

단계 10.3.2.4

최종 답은 $\frac{32}{43}$ 입니다.

$\frac{32}{43}$

단계 10.4

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 0$ 은 극솟값입니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11