미적분 예제

$f (x) = \cos (π x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = π x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $π x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

단계 1.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $π x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

단계 1.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (π x) π$

단계 1.2.3.2

$- \sin (π x) π$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- π \sin (π x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- π \sin (π x)$ 의 미분은 $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

단계 2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = π x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $π x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

단계 2.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $π x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

단계 2.3

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4

$π$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

단계 2.5

$π$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

단계 2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- π \sin (π x) = 0$

단계 4

$- π \sin (π x) = 0$ 의 각 항을 $- π$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- π \sin (π x) = 0$ 의 각 항을 $- π$ 로 나눕니다.

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

단계 4.2.2

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

단계 4.2.2.2

$\sin (π x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$0$ 을 $- π$ 로 나눕니다.

$\sin (π x) = 0$

단계 5

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$π x = \arcsin (0)$

단계 6

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$π x = 0$

단계 7

$π x = 0$ 의 각 항을 $π$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$π x = 0$ 의 각 항을 $π$ 로 나눕니다.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

단계 7.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{π}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$0$ 을 $π$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 8

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$π x = π - 0$

단계 9

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$π x = π + 0$

단계 9.1.2

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π x = π$

단계 9.2

$π x = π$ 의 각 항을 $π$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$π x = π$ 의 각 항을 $π$ 로 나눕니다.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

단계 9.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

단계 9.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{π}{π}$

단계 9.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.1

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{π}{π}$

단계 9.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 1$

단계 10

방정식 $π x = 0$ 의 해.

$x = 0, 1$

단계 11

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- π^{2} \cos (π (0))$

단계 12

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$π$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- π^{2} \cos (0)$

단계 12.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- π^{2} \cdot 1$

단계 12.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- π^{2}$

단계 13

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 14

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \cos (π (0))$

단계 14.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$π$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = \cos (0)$

단계 14.2.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (0) = 1$

단계 14.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$y = 1$

단계 15

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- π^{2} \cos (π (1))$

단계 16

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- π^{2} \cos (π)$

단계 16.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- π^{2} (- \cos (0))$

단계 16.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

단계 16.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- π^{2} \cdot - 1$

단계 16.5

$- π^{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 π^{2}$

단계 16.5.2

$π^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$π^{2}$

단계 17

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 18

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \cos (π (1))$

단계 18.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \cos (π)$

단계 18.2.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (1) = - \cos (0)$

단계 18.2.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (1) = - 1 \cdot 1$

단계 18.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 1$

단계 18.2.5

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$y = - 1$

단계 19

$f (x) = \cos (π x)$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 1)$ 은 극댓값임

$(1, - 1)$ 은 극솟값임

단계 20