미적분 예제

$y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

단계 1

$y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{2} - 5$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2.3

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2.4.2

$x - 3$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2.5

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2.7

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3.4.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3.4.1.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3.4.1.3

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3.4.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3.5

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x + 5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $5$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 5, - 1$

단계 2.3.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = (x - 5) (x - 1)$ , $g (x) = {(x - 3)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

단계 3.2

${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

단계 3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.3

$f (x) = x - 5$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.4.2

$x - 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.5

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.7

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.8.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + x - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.8.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 5 - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.4.8.4

$- 5$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.5.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.6

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.6.2

${(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

${(x - 3)}^{2} (2 x - 6)$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.6.2.2

$- 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.6.2.3

$(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

단계 3.7

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

${(x - 3)}^{4}$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

단계 3.7.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

단계 3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.8

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.10

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.11.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 3) (2 x - 6)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 6) - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.1.2.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.2.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.2.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 6$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.2.1.4

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.2.1.5

$- 3$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.2.2

$- 6 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.3

$- 2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x + 10) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 2 x + 10) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x (x - 1) + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.1.5.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.1.5.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.5.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.5.1.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.5.1.3

$10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.1.5.2

$2 x$ 를 $10 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.2

$2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.2.2.1

$2 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 0 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.2.2

$- 12 x + 18$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.2.3

$- 12 x$ 를 $12 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{0 + 18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.2.4

$0$ 를 $18$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3.12.2.3

$18$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.2.3

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.2.4.2

$x - 3$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.2.5

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.2.7

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.3.4.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.3.4.1.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.3.4.1.3

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.3.4.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.1.3.5

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x + 5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $5$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 5, - 1$

단계 5.1.3.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

단계 6.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

단계 6.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 6.3.2

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 6.3.2.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 6.3.3

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 6.3.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 6.3.4

$(x - 5) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5, 1$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 3)}^{2} = 0$

단계 7.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 7.2.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 8

계산할 임계점.

$x = 5, 1$

단계 9

$x = 5$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{8}{{((5) - 3)}^{3}}$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{8}{2^{3}}$

단계 10.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{8}{8}$

단계 10.2

$8$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$1$

단계 11

이계도함수가 양수이므로 $x = 5$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 5$ 은 극소값입니다.

단계 12

$x = 5$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

수식에서 변수 $x$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$f (5) = \frac{{(5)}^{2} - 5}{(5) - 3}$

단계 12.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (5) = \frac{25 - 5}{5 - 3}$

단계 12.2.1.2

$25$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (5) = \frac{20}{5 - 3}$

단계 12.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.1

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (5) = \frac{20}{2}$

단계 12.2.2.2

$20$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f (5) = 10$

단계 12.2.3

최종 답은 $10$ 입니다.

$y = 10$

단계 13

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{8}{{((1) - 3)}^{3}}$

단계 14

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

단계 14.1.2

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{8}{- 8}$

단계 14.2

$8$ 을 $- 8$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 15

이계도함수가 음수이므로 $x = 1$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극대값입니다

단계 16

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} - 5}{(1) - 3}$

단계 16.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = \frac{1 - 5}{1 - 3}$

단계 16.2.1.2

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (1) = \frac{- 4}{1 - 3}$

단계 16.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.2.1

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (1) = \frac{- 4}{- 2}$

단계 16.2.2.2

$- 4$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$f (1) = 2$

단계 16.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$y = 2$

단계 17

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ 에 대한 극값입니다.

$(5, 10)$ 은 극솟값임

$(1, 2)$ 은 극댓값임

단계 18