미적분 예제

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + \ln (x) (2 x)$

단계 1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$2 x \ln (x) + x$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x \ln (x) + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x \ln (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.5

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.6

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.7

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

단계 2.4.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$2 x \ln (x) + x = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.1.3.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.1.3.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.1.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.1.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.1.3.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + \ln (x) (2 x)$

단계 4.1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 x \ln (x) + x$ 입니다.

$2 x \ln (x) + x$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 x \ln (x) + x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 x \ln (x) + x = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$2 x \ln (x) = - x$

단계 5.3

$2 x \ln (x) = - x$ 의 각 항을 $2 x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$2 x \ln (x) = - x$ 의 각 항을 $2 x$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

단계 5.3.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

단계 5.3.2.2.2

$\ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

단계 5.3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

단계 5.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

단계 5.4

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

단계 5.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

단계 5.6

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$x = e^{- \frac{1}{2}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

단계 5.6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x \leq 0$

단계 6.2

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 7

계산할 임계점.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

단계 8

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $e^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

단계 9.1.2

$- \frac{1}{2}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ 을 전개합니다.

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

단계 9.1.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

단계 9.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

단계 9.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

단계 9.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

단계 9.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 + 3$

단계 9.2

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.2.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.2.2.2

간단히 합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.2.3

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $e^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

단계 11.2.4

$- \frac{1}{2}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ 을 전개합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

단계 11.2.5

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

단계 11.2.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

단계 11.2.7

$\frac{1}{e}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

단계 11.2.8

$e$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

단계 11.2.9

최종 답은 $- \frac{1}{2 e}$ 입니다.

$y = - \frac{1}{2 e}$

단계 12

$f (x) = x^{2} \ln (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ 은 극솟값임

단계 13