미적분 예제

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} d x$

단계 1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

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단계 1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - 9 x^{2}}} d x$

단계 1.2

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

단계 2

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 2.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 2.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} d u$

단계 4

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\arcsin (\frac{u}{2})$ 입니다

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$

단계 5

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$ 을 $\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} \cdot 3 x) + C$