미적분 예제

$\frac{1}{2} \cdot (x e^{\frac{- 1}{2} x})$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot (x e^{- \frac{1}{2} x})]$

단계 1.2

분수를 통분합니다.

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단계 1.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot (x e^{- \frac{x}{2}})]$

단계 1.2.2

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}}]$

단계 1.2.3

$\frac{x}{2}$ 와 $e^{- \frac{x}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}]$

단계 1.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- \frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $- \frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x}{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.2.1

$e^{- \frac{x}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2.2

$x$ 와 $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1)$

단계 4.6

$e^{- \frac{x}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

단계 5.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

단계 5.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{- \frac{x}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$