미적분 예제

$\sum_{n = 1}^{8} - 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

단계 1

공식 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 을 사용하여 유한 기하급수의 합을 구할 수 있습니다. 여기서 $a$ 은 첫 번째 항이고 $r$ 는 연속 항 간의 비율입니다.

단계 2

공식 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 에 대입하고 간단히 정리하여 연속 항의 비율을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a_{n}$ , $a_{n + 1}$ 을 $r$ 공식에 대입합니다.

$r = \frac{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

단계 2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

단계 2.2.2

${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ 및 ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ 에서 ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

단계 2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

단계 2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

단계 2.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

단계 2.2.2.2.4

${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

단계 2.2.3

$n$ 를 $0$ 에 더합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

단계 2.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

단계 2.2.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

단계 2.2.5

$n$ 에서 $n$ 을 뺍니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

단계 2.2.6

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$r = \frac{1}{3}$

단계 3

하계에 대입하고 간단히 정리하여 급수의 첫 번째 항을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$n$ 의 $1$ 을 $- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 에 대입합니다.

$a = - 4 {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$a = - 4 {(\frac{1}{3})}^{0}$

단계 3.2.2

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$a = - 4 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

단계 3.2.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$a = - 4 \frac{1}{3^{0}}$

단계 3.2.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

단계 3.2.5

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

단계 3.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$a = - 4 \cdot 1$

단계 3.2.6

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a = - 4$

단계 4

비율, 첫 번째 항, 항의 수 값을 합 공식에 대입합니다.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

단계 5.1.2

조합합니다.

$- 4 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

단계 5.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- \frac{1}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

단계 5.3.2

공약수로 약분합니다.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

단계 5.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.2

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 4 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

$- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.3.2

$3^{8}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.3.3

공약수로 약분합니다.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.5

$3$ 를 $7$ 승 합니다.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 4 \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.8

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2187}{2187}$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.9

$3$ 와 $\frac{2187}{2187}$ 을 묶습니다.

$- 4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.11.1

$3$ 에 $2187$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.4.11.2

$6561$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

단계 5.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

단계 5.5.2

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

단계 5.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 2) \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

단계 5.6.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 2 \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

단계 5.6.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 (\frac{6560}{2187})$

단계 5.7

$- 2$ 와 $\frac{6560}{2187}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 6560}{2187}$

단계 5.8

$- 2$ 에 $6560$ 을 곱합니다.

$\frac{- 13120}{2187}$

단계 5.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{13120}{2187}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{13120}{2187}$

소수 형태:

$- 5.99908550 \dots$

대분수 형식:

$- 5 \frac{2185}{2187}$