미적분 예제

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x} d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

단계 2

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

단계 3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$12 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

단계 3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$12 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

단계 3.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$12 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

단계 3.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$12 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

단계 3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$12 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 12 \sqrt{x} d x$

단계 5

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int \sqrt{x} d x$

단계 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

단계 8.2.2

$12$ 와 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{12 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

단계 8.2.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{24 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

단계 8.2.4

$24 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

단계 8.2.5

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.5.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

단계 8.2.5.2

공약수로 약분합니다.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

단계 8.2.5.3

수식을 다시 씁니다.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

단계 8.2.5.4

$8 x^{\frac{3}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$24 x^{\frac{1}{2}} + 8 x^{\frac{3}{2}} + C$