미적분 예제

$\int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 5}{x^{4}} d x$

단계 1

$x^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

단계 2

${(x^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

단계 2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4} d x$

단계 3

$(x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (x^{4} - 3 x^{2}) x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{4} x^{- 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

단계 3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{4 - 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

단계 3.4

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\int x^{0} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

단계 3.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\int 1 - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

단계 3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 1 - 3 x^{2 - 4} + 5 x^{- 4} d x$

단계 3.7

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\int 1 - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} d x$

단계 3.8

$1$ 와 $- 3 x^{- 2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int - 3 x^{- 2} + 1 + 5 x^{- 4} d x$

단계 3.9

$1$ 를 옮깁니다.

$\int - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} + 1 d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

단계 5

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

단계 7

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 \int x^{- 4} d x + \int d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{- 4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 가 됩니다.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int d x$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$x^{- 3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int d x$

단계 9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int d x$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + x + C$

단계 11

간단히 합니다.

$\frac{3}{x} - \frac{5}{3 x^{3}} + x + C$