미적분 예제

$\int \frac{\ln (x)}{x^{5}} d x$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$x^{5}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int \ln (x) {(x^{5})}^{- 1} d x$

단계 1.2

${(x^{5})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \ln (x) x^{5 \cdot - 1} d x$

단계 1.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \ln (x) x^{- 5} d x$

단계 2

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x^{- 5}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x) (- \frac{1}{4 x^{4}}) - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\ln (x)$ 와 $\frac{1}{4 x^{4}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

단계 3.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{4 x^{4}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{x (4 x^{4})} d x$

단계 3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 (x^{1} x^{4})} d x$

단계 3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{1 + 4}} d x$

단계 3.5

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{5}} d x$

단계 4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - - \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + 1 \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

단계 5.2

$\int \frac{1}{4 x^{5}} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

단계 6

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{5}} d x$

단계 7

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 7.1

$x^{5}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

단계 7.2

${(x^{5})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 7.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{5 \cdot - 1} d x$

단계 7.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{- 5}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 가 됩니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

단계 9

답을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$ 을 $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{x^{4} \cdot 4}) + C$

단계 9.2.2

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4 \cdot x^{4}}) + C$

단계 9.2.3

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{4 x^{4}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{4 (4 x^{4})} + C$

단계 9.2.4

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$