미적분 예제

$\int x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + x^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + x^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + x^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 3 x^{2}$

단계 1.1.5

$0$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

단계 2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 을 $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $1 + x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{9} {(1 + x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$