미적분 예제

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sec (t)$ 라고 하면 $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sec (t) \tan (t)$ 는 양수입니다.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

단계 2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

단계 2.2.1.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

단계 2.2.1.4

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.1.5

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

단계 2.2.1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

단계 2.2.1.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

단계 2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$4$ 를 $2$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

단계 2.2.2.2

${\sec (t)}^{2 + 2}$ 을 $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

단계 3

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sec^{2} (t)$ 를 $1 + \tan^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

단계 4

먼저 $u = \tan (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec^{2} (t) d t$ 이므로 $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = \tan (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\tan (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

단계 4.1.2

$\tan (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (t)$ 입니다.

$\sec^{2} (t)$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

단계 5

$(1 + u^{2}) u^{2}$ 을 곱합니다.

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 6.2

지수를 더하여 $u^{2}$ 에 $u^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

단계 6.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{2} + u^{4} d u$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

단계 10

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

단계 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u$ 를 모두 $\tan (t)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

단계 11.2

$t$ 를 모두 $arcsec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$