미적분 예제

$\int 2 x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

단계 2

먼저 $u = 5 + 4 x^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 12 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 5 + 4 x^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$5 + 4 x^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 + 4 x^{3}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $5 + 4 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

단계 2.1.2.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 4 (3 x^{2})$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$0 + 12 x^{2}$

단계 2.1.4

$0$ 를 $12 x^{2}$ 에 더합니다.

$12 x^{2}$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \sqrt[4]{u} \frac{1}{12} d u$

단계 3

$\sqrt[4]{u}$ 와 $\frac{1}{12}$ 을 묶습니다.

$2 \int \frac{\sqrt[4]{u}}{12} d u$

단계 4

$\frac{1}{12}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{12}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{12} \int \sqrt[4]{u} d u)$

단계 5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{1}{12}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

단계 5.1.2

$2$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

단계 5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.2.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

단계 5.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

단계 5.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} \int \sqrt[4]{u} d u$

단계 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{4}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{4}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$ 을 $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{4}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{6 \cdot 5} u^{\frac{5}{4}} + C$

단계 7.2.2

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

단계 7.2.3

$4$ 및 $30$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2)}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

단계 7.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.2.1

$30$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

단계 7.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

단계 7.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{4}} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $5 + 4 x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{15} {(5 + 4 x^{3})}^{\frac{5}{4}} + C$