미적분 예제

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

단계 1

먼저 $u = \ln (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x} d x$ 이므로 $x d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \ln (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x}$

단계 1.2

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \ln (e)$

단계 1.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $2$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

단계 1.5.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

단계 1.5.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

단계 2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

단계 3

$2$ , $1$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

단계 4

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

단계 5.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\ln (\frac{2}{1})$

단계 5.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (2)$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\ln (2)$

소수 형태:

$0.69314718 \dots$