미적분 예제

$\int x \arcsin (x) d x$

단계 1

$u = \arcsin (x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\arcsin (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\arcsin (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 2.2

$\arcsin (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

단계 4

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 5

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\cos (t)$ 는 양수입니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 6

항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 6.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

단계 6.2

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

단계 6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \sin^{2} (t) d t$

단계 7

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (t)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

단계 9.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 t) d t$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

단계 12

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

단계 13

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 13.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 13.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 13.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 13.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 13.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 13.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 14

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 15

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

단계 16

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 17

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 18

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 18.1

$t$ 를 모두 $\arcsin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 18.2

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 18.3

$t$ 를 모두 $\arcsin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

단계 19

간단히 합니다.

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단계 19.1

$\sin (2 \arcsin (x))$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

단계 19.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} \arcsin (x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

단계 19.3

$\arcsin (x)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

단계 19.4

$- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ 을 곱합니다.

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단계 19.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

단계 19.4.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

단계 19.4.3

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4 \cdot 2} + C$

단계 19.4.4

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

단계 19.5

$\frac{1}{2}$ 와 $\arcsin (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (x)}{2} x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

단계 19.6

$\frac{\arcsin (x)}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

단계 20

간단히 합니다.

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단계 20.1

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} \arcsin (x)}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

단계 20.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \arcsin (x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x)) + C$