미적분 예제

$\int_{0}^{1} e^{- 4 x} d x$

단계 1

먼저 $u = - 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 4 d x$ 이므로 $- \frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = - 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$- 4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 1.1.2

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \cdot 1$

단계 1.1.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4$

단계 1.2

$u = - 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 4 \cdot 0$

단계 1.3

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = - 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 4 \cdot 1$

단계 1.5

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 4$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 4$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

단계 2.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{- 4} - \frac{e^{u}}{4} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{0}^{- 4} \frac{e^{u}}{4} d u$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{4} \int_{0}^{- 4} e^{u} d u)$

단계 5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 4}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 4$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{0})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1 \cdot 1)$

단계 6.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{4} e^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

단계 7.2

$e^{- 4}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- 4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

단계 7.3

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{- 4}}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

단계 7.3.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{- 4}}{4} + \frac{1}{4}$

단계 7.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

소수 형태:

$0.24542109 \dots$

단계 9