미적분 예제

$\int_{0}^{3} (3 - t) \sqrt{t} d t$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{0}^{3} (3 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

단계 2

$(3 - t) t^{\frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

단계 2.2

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

단계 2.3

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

단계 2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

단계 2.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

단계 2.7

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

단계 4

$3$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int_{0}^{3} t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $t^{\frac{1}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

단계 6

$\frac{2}{3}$ 와 $t^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

단계 7

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} t^{\frac{3}{2}} d t$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $t^{\frac{3}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{3})$

단계 9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{2}{5}$ 와 $t^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

단계 9.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$3$ , $0$ 일 때, $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ 값을 계산합니다.

$3 ((\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

단계 9.2.2

$3$ , $0$ 일 때, $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ 값을 계산합니다.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3

간단히 합니다.

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단계 9.2.3.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $3^{1}$ 를 분자로 이동합니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.2

지수를 더하여 $3^{\frac{3}{2}}$ 에 $3^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 9.2.3.2.1

$3^{- 1}$ 를 옮깁니다.

$3 (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.2.3.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.2.6.2

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.3

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.6

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.7

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.8

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.3.8.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.3.8.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.8.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.9

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.10

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.11

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.12

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 9.2.3.13

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

단계 9.2.3.14

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.14.1

공약수로 약분합니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

단계 9.2.3.14.2

수식을 다시 씁니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

단계 9.2.3.15

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

단계 9.2.3.16

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{5})$

단계 9.2.3.17

$0$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.17.1

$0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

단계 9.2.3.17.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.17.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

단계 9.2.3.17.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

단계 9.2.3.17.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{1})$

단계 9.2.3.17.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 0)$

단계 9.2.3.18

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} + 0)$

단계 9.2.3.19

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

단계 9.2.3.20

공통 분모를 가지는 분수로 $6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

단계 9.2.3.21

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

단계 9.2.3.22

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5 - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

단계 9.2.3.23

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

단계 10

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

소수 형태:

$4.15692193 \dots$

단계 11