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미적분 예제
단계 1
단계 1.1
분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.
단계 1.1.1
분수를 인수분해합니다.
단계 1.1.1.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.1.1.2
로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 를 로 바꿉니다.
단계 1.1.1.3
AC 방법을 이용하여 를 인수분해합니다.
단계 1.1.1.3.1
형태를 이용합니다. 곱이 이고 합이 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 이고 합은 입니다.
단계 1.1.1.3.2
이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.
단계 1.1.1.4
를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.1.1.5
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.1.1.6
두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 이고 입니다.
단계 1.1.2
분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 를 적습니다.
단계 1.1.3
분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 를 적습니다.
단계 1.1.4
분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.
단계 1.1.5
방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 입니다.
단계 1.1.6
의 공약수로 약분합니다.
단계 1.1.6.1
공약수로 약분합니다.
단계 1.1.6.2
수식을 다시 씁니다.
단계 1.1.7
의 공약수로 약분합니다.
단계 1.1.7.1
공약수로 약분합니다.
단계 1.1.7.2
수식을 다시 씁니다.
단계 1.1.8
의 공약수로 약분합니다.
단계 1.1.8.1
공약수로 약분합니다.
단계 1.1.8.2
을 로 나눕니다.
단계 1.1.9
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.1.9.1
의 공약수로 약분합니다.
단계 1.1.9.1.1
공약수로 약분합니다.
단계 1.1.9.1.2
을 로 나눕니다.
단계 1.1.9.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.9.3
의 왼쪽으로 이동하기
단계 1.1.9.4
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
단계 1.1.9.4.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.9.4.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.9.4.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.9.5
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.1.9.5.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.5.1.1
를 옮깁니다.
단계 1.1.9.5.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.5.1.2.1
를 승 합니다.
단계 1.1.9.5.1.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.1.9.5.1.3
를 에 더합니다.
단계 1.1.9.5.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 1.1.9.5.3
에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.6
의 공약수로 약분합니다.
단계 1.1.9.6.1
공약수로 약분합니다.
단계 1.1.9.6.2
을 로 나눕니다.
단계 1.1.9.7
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.9.8
의 왼쪽으로 이동하기
단계 1.1.9.9
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
단계 1.1.9.9.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.9.9.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.9.9.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.9.10
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.1.9.10.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.10.1.1
를 옮깁니다.
단계 1.1.9.10.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.10.1.2.1
를 승 합니다.
단계 1.1.9.10.1.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.1.9.10.1.3
를 에 더합니다.
단계 1.1.9.10.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 1.1.9.10.3
에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.11
의 공약수로 약분합니다.
단계 1.1.9.11.1
공약수로 약분합니다.
단계 1.1.9.11.2
을 로 나눕니다.
단계 1.1.9.12
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
단계 1.1.9.12.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.9.12.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.9.12.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.9.13
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.1.9.13.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.13.1.1
를 옮깁니다.
단계 1.1.9.13.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.13.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 1.1.9.13.3
의 왼쪽으로 이동하기
단계 1.1.9.14
첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 를 전개합니다.
단계 1.1.9.15
의 반대 항을 묶습니다.
단계 1.1.9.15.1
인수가 항 과(와) (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.
단계 1.1.9.15.2
를 에 더합니다.
단계 1.1.9.15.3
를 에 더합니다.
단계 1.1.9.16
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.1.9.16.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.16.1.1
를 옮깁니다.
단계 1.1.9.16.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.16.1.2.1
를 승 합니다.
단계 1.1.9.16.1.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.1.9.16.1.3
를 에 더합니다.
단계 1.1.9.16.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 1.1.9.16.3
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.16.3.1
를 옮깁니다.
단계 1.1.9.16.3.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.16.4
에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.16.5
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.16.5.1
를 옮깁니다.
단계 1.1.9.16.5.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.16.6
에 을 곱합니다.
단계 1.1.9.17
의 반대 항을 묶습니다.
단계 1.1.9.17.1
를 에 더합니다.
단계 1.1.9.17.2
를 에 더합니다.
단계 1.1.10
식을 간단히 합니다.
단계 1.1.10.1
를 옮깁니다.
단계 1.1.10.2
를 옮깁니다.
단계 1.1.10.3
와 을 다시 정렬합니다.
단계 1.1.10.4
를 옮깁니다.
단계 1.1.10.5
를 옮깁니다.
단계 1.1.10.6
를 옮깁니다.
단계 1.1.10.7
를 옮깁니다.
단계 1.1.10.8
를 옮깁니다.
단계 1.1.10.9
를 옮깁니다.
단계 1.1.10.10
를 옮깁니다.
단계 1.1.10.11
를 옮깁니다.
단계 1.1.10.12
를 옮깁니다.
단계 1.2
부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.
단계 1.2.1
방정식의 각 변의 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.
단계 1.2.2
방정식의 각 변의 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.
단계 1.2.3
방정식의 각 변의 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.
단계 1.2.4
를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.
단계 1.2.5
부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.
단계 1.3
연립방정식을 풉니다.
단계 1.3.1
의 에 대해 풉니다.
단계 1.3.1.1
로 방정식을 다시 씁니다.
단계 1.3.1.2
를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.
단계 1.3.1.2.1
방정식의 양변에서 를 뺍니다.
단계 1.3.1.2.2
방정식의 양변에서 를 뺍니다.
단계 1.3.2
각 방정식에서 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.2.1
의 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.2.2
우변을 간단히 합니다.
단계 1.3.2.2.1
을 간단히 합니다.
단계 1.3.2.2.1.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.3.2.2.1.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.3.2.2.1.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.3.2.2.1.1.3
에 을 곱합니다.
단계 1.3.2.2.1.2
를 에 더합니다.
단계 1.3.2.3
의 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.2.4
우변을 간단히 합니다.
단계 1.3.2.4.1
을 간단히 합니다.
단계 1.3.2.4.1.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.3.2.4.1.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.3.2.4.1.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.3.2.4.1.1.3
에 을 곱합니다.
단계 1.3.2.4.1.2
항을 더해 식을 간단히 합니다.
단계 1.3.2.4.1.2.1
의 반대 항을 묶습니다.
단계 1.3.2.4.1.2.1.1
를 에 더합니다.
단계 1.3.2.4.1.2.1.2
를 에 더합니다.
단계 1.3.2.4.1.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 1.3.2.5
의 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.2.6
우변을 간단히 합니다.
단계 1.3.2.6.1
을 간단히 합니다.
단계 1.3.2.6.1.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.3.2.6.1.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.3.2.6.1.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.3.2.6.1.1.3
에 을 곱합니다.
단계 1.3.2.6.1.2
를 에 더합니다.
단계 1.3.3
의 에 대해 풉니다.
단계 1.3.3.1
로 방정식을 다시 씁니다.
단계 1.3.3.2
의 각 항을 로 나누고 식을 간단히 합니다.
단계 1.3.3.2.1
의 각 항을 로 나눕니다.
단계 1.3.3.2.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 1.3.3.2.2.1
의 공약수로 약분합니다.
단계 1.3.3.2.2.1.1
공약수로 약분합니다.
단계 1.3.3.2.2.1.2
을 로 나눕니다.
단계 1.3.3.2.3
우변을 간단히 합니다.
단계 1.3.3.2.3.1
을 로 나눕니다.
단계 1.3.4
각 방정식에서 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.4.1
의 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.4.2
우변을 간단히 합니다.
단계 1.3.4.2.1
을 간단히 합니다.
단계 1.3.4.2.1.1
에 을 곱합니다.
단계 1.3.4.2.1.2
를 에 더합니다.
단계 1.3.4.3
의 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.4.4
우변을 간단히 합니다.
단계 1.3.4.4.1
을 간단히 합니다.
단계 1.3.4.4.1.1
에 을 곱합니다.
단계 1.3.4.4.1.2
를 에 더합니다.
단계 1.3.4.5
의 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.4.6
우변을 간단히 합니다.
단계 1.3.4.6.1
에서 을 뺍니다.
단계 1.3.5
의 에 대해 풉니다.
단계 1.3.5.1
로 방정식을 다시 씁니다.
단계 1.3.5.2
방정식의 양변에서 를 뺍니다.
단계 1.3.6
각 방정식에서 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.6.1
의 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.6.2
우변을 간단히 합니다.
단계 1.3.6.2.1
을 간단히 합니다.
단계 1.3.6.2.1.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.3.6.2.1.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.3.6.2.1.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.3.6.2.1.1.3
에 을 곱합니다.
단계 1.3.6.2.1.2
를 에 더합니다.
단계 1.3.7
의 에 대해 풉니다.
단계 1.3.7.1
로 방정식을 다시 씁니다.
단계 1.3.7.2
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 1.3.7.3
의 각 항을 로 나누고 식을 간단히 합니다.
단계 1.3.7.3.1
의 각 항을 로 나눕니다.
단계 1.3.7.3.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 1.3.7.3.2.1
의 공약수로 약분합니다.
단계 1.3.7.3.2.1.1
공약수로 약분합니다.
단계 1.3.7.3.2.1.2
을 로 나눕니다.
단계 1.3.7.3.3
우변을 간단히 합니다.
단계 1.3.7.3.3.1
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 1.3.7.3.3.1.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.3.7.3.3.1.2
공약수로 약분합니다.
단계 1.3.7.3.3.1.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.3.7.3.3.1.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 1.3.7.3.3.1.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 1.3.8
각 방정식에서 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.8.1
의 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.8.2
우변을 간단히 합니다.
단계 1.3.8.2.1
을 간단히 합니다.
단계 1.3.8.2.1.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.3.8.2.1.1.1
의 공약수로 약분합니다.
단계 1.3.8.2.1.1.1.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.3.8.2.1.1.1.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.3.8.2.1.1.1.3
공약수로 약분합니다.
단계 1.3.8.2.1.1.1.4
수식을 다시 씁니다.
단계 1.3.8.2.1.1.2
와 을 묶습니다.
단계 1.3.8.2.1.1.3
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 1.3.8.2.1.2
식을 간단히 합니다.
단계 1.3.8.2.1.2.1
을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.
단계 1.3.8.2.1.2.2
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 1.3.8.2.1.2.3
에서 을 뺍니다.
단계 1.3.8.3
의 를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.3.8.4
우변을 간단히 합니다.
단계 1.3.8.4.1
에 을 곱합니다.
단계 1.3.9
모든 해를 나열합니다.
단계 1.4
, , , 에 대해 구한 값을 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.
단계 1.5
간단히 합니다.
단계 1.5.1
Multiply the numerator and denominator of the fraction by .
단계 1.5.1.1
에 을 곱합니다.
단계 1.5.1.2
조합합니다.
단계 1.5.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.5.3
의 공약수로 약분합니다.
단계 1.5.3.1
공약수로 약분합니다.
단계 1.5.3.2
수식을 다시 씁니다.
단계 1.5.4
분자를 간단히 합니다.
단계 1.5.4.1
에 을 곱합니다.
단계 1.5.4.2
에 을 곱합니다.
단계 1.5.4.3
를 에 더합니다.
단계 1.5.5
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.5.5.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.5.5.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.5.5.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.5.6
분자에 분모의 역수를 곱합니다.
단계 1.5.7
에 을 곱합니다.
단계 1.5.8
의 왼쪽으로 이동하기
단계 1.5.9
분자에 분모의 역수를 곱합니다.
단계 1.5.10
에 을 곱합니다.
단계 2
하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.
단계 3
은 에 대해 상수이므로, 를 적분 밖으로 빼냅니다.
단계 4
은 에 대해 상수이므로, 를 적분 밖으로 빼냅니다.
단계 5
단계 5.1
로 둡니다. 를 구합니다.
단계 5.1.1
를 미분합니다.
단계 5.1.2
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 5.1.3
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.4
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 5.1.5
를 에 더합니다.
단계 5.2
와 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.
단계 6
를 에 대해 적분하면 입니다.
단계 7
은 에 대해 상수이므로, 를 적분 밖으로 빼냅니다.
단계 8
단계 8.1
로 둡니다. 를 구합니다.
단계 8.1.1
를 미분합니다.
단계 8.1.2
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 8.1.3
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 8.1.4
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 8.1.5
를 에 더합니다.
단계 8.2
와 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.
단계 9
를 에 대해 적분하면 입니다.
단계 10
은 에 대해 상수이므로, 를 적분 밖으로 빼냅니다.
단계 11
와 을 다시 정렬합니다.
단계 12
을 로 바꿔 씁니다.
단계 13
를 에 대해 적분하면 입니다.
단계 14
단계 14.1
와 을 묶습니다.
단계 14.2
간단히 합니다.
단계 14.3
에 을 곱합니다.
단계 15
단계 15.1
를 모두 로 바꿉니다.
단계 15.2
를 모두 로 바꿉니다.