미적분 예제

$\int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int_{1}^{4} e^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 1.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{1}^{4} e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 1.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{4} e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 1.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{4} e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = x^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 이므로 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = x^{\frac{1}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 2.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 2.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 2.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

단계 2.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

단계 2.1.8

간단히 합니다.

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단계 2.1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.1.8.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.2

$u = x^{\frac{1}{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1^{\frac{1}{2}}$

단계 2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u = x^{\frac{1}{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4^{\frac{1}{2}}$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{upper} = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 2.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

단계 2.5.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

단계 2.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = 2^{1}$

단계 2.5.4

지수값을 계산합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} 2 e^{u} d u$

단계 3

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{1}^{2} e^{u} d u$

단계 4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$2 (e^{u}]_{1}^{2})$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ , $1$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$2 ((e^{2}) - e^{1})$

단계 5.2

간단히 합니다.

$2 (e^{2} - e)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 e^{2} + 2 (- e)$

단계 6.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 e^{2} - 2 e$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$2 e^{2} - 2 e$

소수 형태:

$9.34154854 \dots$

단계 8