미적분 예제

$\int_{1}^{7} x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x$

단계 1

먼저 $u = 4 x^{2} + 9$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 8 x d x$ 이므로 $\frac{1}{8} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 4 x^{2} + 9$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$4 x^{2} + 9$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$8 x + 0$

단계 1.1.4.2

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 x$

단계 1.2

$u = 4 x^{2} + 9$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 \cdot 1^{2} + 9$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 4 \cdot 1 + 9$

단계 1.3.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 4 + 9$

단계 1.3.2

$4$ 를 $9$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 13$

단계 1.4

$u = 4 x^{2} + 9$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 \cdot 7^{2} + 9$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 4 \cdot 49 + 9$

단계 1.5.1.2

$4$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 196 + 9$

단계 1.5.2

$196$ 를 $9$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 205$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 13$

$u_{upper} = 205$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{13}^{205} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

단계 2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\int_{13}^{205} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

단계 3

$\frac{1}{8}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} \sqrt{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{13}^{205}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$205$ , $13$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 205^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $205^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.2

$13^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

단계 6.2.3

$13^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2

조합합니다.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1

$- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

단계 7.3.2

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

단계 7.3.3

$- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

단계 7.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

단계 7.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

단계 7.4

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3}$

단계 7.5

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

단계 7.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.6.1

$1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

단계 7.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.6.2.1

$8 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

단계 7.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

단계 7.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 \cdot (205^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

단계 7.6.3

$205^{\frac{3}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

단계 7.6.4

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

단계 7.6.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

소수 형태:

$240.69009594 \dots$

단계 9