미적분 예제

$y = \frac{x^{6}}{1 - x^{5}}$

단계 1

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = 1 - x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x^{5}) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 2.2

$1 - x^{5}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{6 \cdot (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $1 - x^{5}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 가 됩니다.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 에 더합니다.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [- x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 2.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{5}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 2.7

곱합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 1 x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 2.7.2

$x^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 2.8

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} (5 x^{4})}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 3

지수를 더하여 $x^{6}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4} x^{6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4 + 6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 3.3

$4$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{10} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 4

$x^{10}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 5 \cdot x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 (- x^{5})) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.2.1

$x^{5}$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 x^{5} + 6 (- (x^{5} x^{5})) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 5.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5 + 5}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 5.3.1.2.3

$5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{10}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 5.3.1.3

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{5} - 6 x^{10} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 5.3.2

$- 6 x^{10}$ 를 $5 x^{10}$ 에 더합니다.

$\frac{6 x^{5} - x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{10} + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

단계 5.5

$- x^{10} + 6 x^{5}$ 에서 $x^{5}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.1

$- x^{10}$ 에서 $x^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

단계 5.5.2

$6 x^{5}$ 에서 $x^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

단계 5.5.3

$x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6$ 에서 $x^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{5} (- x^{5} + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

단계 5.6

$- x^{5}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

단계 5.7

$6$ 을 $- 1 (- 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) - 1 (- 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

단계 5.8

$- (x^{5}) - 1 (- 6)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{5} (- (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

단계 5.9

$- (x^{5} - 6)$ 을 $- 1 (x^{5} - 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

단계 5.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{5} (x^{5} - 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$