미적분 예제

$f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

단계 1.1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

단계 1.1.1.3

$u$ 를 모두 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 가 됩니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 1.1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 에 더합니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 1.1.2.4

$- 20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 20 x$ 의 미분은 $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 1.1.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 1.1.2.6

$- 20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 1.1.2.7

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.1.2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

단계 1.1.2.9

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$ 입니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

$- 20 + 10 x = 0$

단계 2.3

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

단계 2.3.2

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}) = \ln (0)$

단계 2.3.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.3.2.3

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.4

$- 20 + 10 x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$- 20 + 10 x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- 20 + 10 x = 0$

단계 2.4.2

$- 20 + 10 x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

방정식의 양변에 $20$ 를 더합니다.

$10 x = 20$

단계 2.4.2.2

$10 x = 20$ 의 각 항을 $10$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$10 x = 20$ 의 각 항을 $10$ 로 나눕니다.

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.2.1

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

단계 2.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{20}{10}$

단계 2.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.3.1

$20$ 을 $10$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 2.5

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 2$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1.1

$- 20$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

단계 4.1.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

단계 4.1.2.1.3

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e^{1 - 40 + 20}$

단계 4.1.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.2.1

$1$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$e^{- 39 + 20}$

단계 4.1.2.2.2

$- 39$ 를 $20$ 에 더합니다.

$e^{- 19}$

단계 4.1.2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{19}}$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(2, \frac{1}{e^{19}})$

단계 5