미적분 예제

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.2.1.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

단계 1.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$2 \cos (x)$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

단계 1.4.2.2

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

단계 1.4.2.3

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\sin (2 x) - \sin (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\sin (2 x) - \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.2.5

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

단계 2.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

단계 4

사인 배각 공식을 적용합니다.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

단계 5

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

단계 5.2

$- \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

단계 5.3

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

단계 6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 7

$\sin (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\sin (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) = 0$

단계 7.2

$\sin (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 7.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 7.2.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 7.2.4

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 7.2.5

방정식 $x = 0$ 의 해.

$x = 0, π$

단계 8

$2 \cos (x) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$2 \cos (x) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 8.2

$2 \cos (x) - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 \cos (x) = 1$

단계 8.2.2

$2 \cos (x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$2 \cos (x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 8.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 8.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

단계 8.2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

단계 8.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 8.2.5

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 8.2.6

$2 π - \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 8.2.6.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.6.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 8.2.6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 8.2.6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.6.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 8.2.6.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{3}$

단계 8.2.7

방정식 $x = \frac{π}{3}$ 의 해.

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

단계 9

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

단계 10

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

단계 11

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \cos (0) - \cos (0)$

단계 11.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

단계 11.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - \cos (0)$

단계 11.1.4

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 - 1 \cdot 1$

단계 11.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 1$

단계 11.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$1$

단계 12

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 13

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

단계 13.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

단계 13.2.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + \cos (0)$

단계 13.2.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (0) = 0 + 1$

단계 13.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0) = 1$

단계 13.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$y = 1$

단계 14

$x = π$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

단계 15

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$2 \cos (0) - \cos (π)$

단계 15.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

단계 15.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - \cos (π)$

단계 15.1.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$2 - - \cos (0)$

단계 15.1.5

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 - (- 1 \cdot 1)$

단계 15.1.6

$- (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - - 1$

단계 15.1.6.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 + 1$

단계 15.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3$

단계 16

이계도함수가 양수이므로 $x = π$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = π$ 은 극소값입니다.

단계 17

$x = π$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

수식에서 변수 $x$ 에 $π$ 을 대입합니다.

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

단계 17.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

단계 17.2.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

단계 17.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (π) = 0 + \cos (π)$

단계 17.2.1.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (π) = 0 - \cos (0)$

단계 17.2.1.5

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

단계 17.2.1.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (π) = 0 - 1$

단계 17.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (π) = - 1$

단계 17.2.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$y = - 1$

단계 18

$x = \frac{π}{3}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

단계 19

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1

$2$ 와 $\frac{π}{3}$ 을 묶습니다.

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

단계 19.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

단계 19.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

단계 19.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.4.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

단계 19.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

단계 19.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

단계 19.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$- 1 - \frac{1}{2}$

단계 19.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 19.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 19.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

단계 19.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 - 1}{2}$

단계 19.5.2

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3}{2}$

단계 19.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2}$

단계 20

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{π}{3}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{3}$ 은 극대값입니다

단계 21

$x = \frac{π}{3}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

단계 21.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.2.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

단계 21.2.1.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

단계 21.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

단계 21.2.1.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

단계 21.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

단계 21.2.1.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.2.1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

단계 21.2.1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

단계 21.2.1.3.5

지수값을 계산합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

단계 21.2.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

단계 21.2.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

단계 21.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

단계 21.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.2.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

단계 21.2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

단계 21.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

단계 21.2.5

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

단계 21.2.6

최종 답은 $\frac{5}{4}$ 입니다.

$y = \frac{5}{4}$

단계 22

$x = \frac{5 π}{3}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 23

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1.1

$2 (\frac{5 π}{3})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1.1.1

$2$ 와 $\frac{5 π}{3}$ 을 묶습니다.

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 23.1.1.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 23.1.2

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 23.1.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 23.1.4

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 23.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 23.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 23.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 23.1.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

단계 23.1.7

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$- 1 - \frac{1}{2}$

단계 23.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 23.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 23.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

단계 23.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 - 1}{2}$

단계 23.5.2

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3}{2}$

단계 23.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2}$

단계 24

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{5 π}{3}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{5 π}{3}$ 은 극대값입니다

단계 25

$x = \frac{5 π}{3}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{5 π}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.3

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.2.1.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.3.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.5

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.2.1.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.6.5

지수값을 계산합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.7

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

단계 25.2.1.8

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

단계 25.2.1.9

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

단계 25.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

단계 25.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.2.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

단계 25.2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

단계 25.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

단계 25.2.5

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

단계 25.2.6

최종 답은 $\frac{5}{4}$ 입니다.

$y = \frac{5}{4}$

단계 26

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 1)$ 은 극솟값임

$(π, - 1)$ 은 극솟값임

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ 은 극댓값임

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ 은 극댓값임

단계 27