미적분 예제

$y = 7 - x^{2}$ , $y = x + 5$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$7 - x^{2} = x + 5$

단계 1.2

$7 - x^{2} = x + 5$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$7 - x^{2} - x = 5$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$7 - x^{2} - x - 5 = 0$

단계 1.2.3

$7$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- x^{2} - x + 2 = 0$

단계 1.2.4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$- x^{2} - x + 2$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) - x + 2 = 0$

단계 1.2.4.1.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) - (x) + 2 = 0$

단계 1.2.4.1.3

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 2 = 0$

단계 1.2.4.1.4

$- (x^{2}) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 2 = 0$

단계 1.2.4.1.5

$- (x^{2} + x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} + x - 2) = 0$

단계 1.2.4.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2 + y = x + 5$

단계 1.2.4.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- ((x - 1) (x + 2)) = 0$

단계 1.2.4.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (x - 1) (x + 2) = 0$

단계 1.2.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0 + y = x + 5$

단계 1.2.6

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 1.2.7

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 1.2.7.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 1.2.8

$- (x - 1) (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 2$

단계 1.3

$x = 1$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = (1) + 5$

단계 1.3.2

$y = (1) + 5$ 에서 $x$ 에 $1$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 1 + 5$

단계 1.3.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (1) + 5$

단계 1.3.2.3

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = 6$

단계 1.4

$x = - 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$y = (- 2) + 5$

단계 1.4.2

$y = (- 2) + 5$ 에서 $x$ 에 $- 2$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = - 2 + 5$

단계 1.4.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (- 2) + 5$

단계 1.4.2.3

$- 2$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = 3$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(1, 6)$

$(- 2, 3)$

$(1, 6)$

$(- 2, 3)$

단계 2

$7$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 7$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 d x - \int_{- 2}^{1} x + 5 d x$

단계 4

$- 2$ 과(와) $1$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 - (x + 5) d x$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{2} + 7 - x - 1 \cdot 5$

단계 4.2.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + 7 - x - 5$

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 - x - 5 d x$

단계 4.3

$7$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} - x + 2 d x$

단계 4.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

단계 4.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

단계 4.6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

단계 4.7

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

단계 4.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

단계 4.9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

단계 4.10

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

단계 4.11

상수 규칙을 적용합니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

단계 4.12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.1

$1$ , $- 2$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

단계 4.12.2

$1$ , $- 2$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

단계 4.12.3

$1$ , $- 2$ 일 때, $2 x$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.2

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.5

$\frac{8}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1 + 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.7

$1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- \frac{9}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.8

$9$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.8.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.8.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.8.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.9

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.11

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.12

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.12.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.12.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.12.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 3 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.13

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 - (\frac{1}{2} - 2) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.14

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 3 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.15

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 3 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 3 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.17

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.17.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 - \frac{1 - 4}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.17.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- 3 - \frac{- 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.18

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 3 - - \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.19

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 + 1 (\frac{3}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.20

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.21

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.22

$- 3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 3 \cdot 2 + 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.24

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.24.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 + 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.24.2

$- 6$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{- 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.25

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.26

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} + 2 - 2 \cdot - 2$

단계 4.12.4.27

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} + 2 + 4$

단계 4.12.4.28

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- \frac{3}{2} + 6$

단계 4.12.4.29

공통 분모를 가지는 분수로 $6$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

단계 4.12.4.30

$6$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

단계 4.12.4.31

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 3 + 6 \cdot 2}{2}$

단계 4.12.4.32

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.32.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 + 12}{2}$

단계 4.12.4.32.2

$- 3$ 를 $12$ 에 더합니다.

$\frac{9}{2}$

단계 5