미적분 예제

$y = x^{3}$ , $y = 4 x$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{3} = 4 x$

단계 1.2

$x^{3} = 4 x$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $4 x$ 를 뺍니다.

$x^{3} - 4 x = 0$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$x^{3} - 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

단계 1.2.2.1.2

$- 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

단계 1.2.2.1.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} - 4) = 0$

단계 1.2.2.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

단계 1.2.2.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 1.2.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0 + y = 4 x$

단계 1.2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 1.2.6

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 1.2.7

$x (x + 2) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2, 2$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 4 (0)$

단계 1.3.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = - 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$y = 4 (- 2)$

단계 1.4.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = - 8$

단계 1.5

$x = 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = 4 (2)$

단계 1.5.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = 8$

단계 1.6

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 2}^{0} x^{3} d x - \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

단계 3

$- 2$ 과(와) $0$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - (4 x) d x$

단계 3.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - 4 x d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

단계 3.4

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

단계 3.5

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 \int_{- 2}^{0} x d x$

단계 3.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

단계 3.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

단계 3.7.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

$0$ , $- 2$ 일 때, $\frac{1}{4} x^{4}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

단계 3.7.2.2

$0$ , $- 2$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.2

$\frac{1}{4}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.3

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$0 - \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.4

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 16 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.5

$- 16$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{- 16}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.6

$- 16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.6.1

$- 16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.6.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + \frac{- 4}{1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.6.2.4

$- 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 - 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.7

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.8

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 4 - 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.9

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.9.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 4 - 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 4 - 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.9.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 4 - 4 (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

단계 3.7.2.3.10

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 4 - 4 (0 - \frac{4}{2})$

단계 3.7.2.3.11

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.11.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

단계 3.7.2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.11.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

단계 3.7.2.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

단계 3.7.2.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2}{1})$

단계 3.7.2.3.11.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 4 - 4 (0 - 1 \cdot 2)$

단계 3.7.2.3.12

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 4 - 4 (0 - 2)$

단계 3.7.2.3.13

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 4 - 4 \cdot - 2$

단계 3.7.2.3.14

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 4 + 8$

단계 3.7.2.3.15

$- 4$ 를 $8$ 에 더합니다.

$4$

단계 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 4 x d x - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

단계 5

$0$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{2} 4 x - (x^{3}) d x$

단계 5.2

$- 1$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{2} 4 x - x^{3} d x$

단계 5.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{2} 4 x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

단계 5.4

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

단계 5.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

단계 5.6

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

단계 5.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

단계 5.8

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2})$

단계 5.9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

단계 5.9.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.1

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

단계 5.9.2.2

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.3.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.4

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.3.4.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.3.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (2 - 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 (2 + 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.6

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \cdot 2 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.7

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.8

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$8 - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.9

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.3.9.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.3.9.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$8 - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.9.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$8 - (4 - \frac{0^{4}}{4})$

단계 5.9.2.3.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$8 - (4 - \frac{0}{4})$

단계 5.9.2.3.11

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.3.11.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$8 - (4 - \frac{4 (0)}{4})$

단계 5.9.2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.3.11.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

단계 5.9.2.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

단계 5.9.2.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$8 - (4 - \frac{0}{1})$

단계 5.9.2.3.11.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$8 - (4 - 0)$

단계 5.9.2.3.12

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$8 - (4 + 0)$

단계 5.9.2.3.13

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 - 1 \cdot 4$

단계 5.9.2.3.14

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 - 4$

단계 5.9.2.3.15

$8$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$4$

단계 6

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$8$

단계 7