미적분 예제

$2 x^{2} + y^{2} = 17$ , $(2, 3)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 3$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (17)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x + 2 y y'$

단계 1.2.4

항을 다시 정렬합니다.

$2 y y' + 4 x$

단계 1.3

$17$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $17$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $17$ 입니다.

$0$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 y y' + 4 x = 0$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.5.1

방정식의 양변에서 $4 x$ 를 뺍니다.

$2 y y' = - 4 x$

단계 1.5.2

$2 y y' = - 4 x$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$2 y y' = - 4 x$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

단계 1.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

단계 1.5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

단계 1.5.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

단계 1.5.2.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

단계 1.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.3.1

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.1.1

$- 4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

단계 1.5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.1.2.1

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

단계 1.5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

단계 1.5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

단계 1.5.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

단계 1.7

$y = 3$ 와 $x = 2$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$- \frac{2 (2)}{y}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$- \frac{2 (2)}{3}$

단계 1.7.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{3}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- \frac{4}{3}$ 과 주어진 점 $(2, 3)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$x$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2$

단계 2.3.1.5

$- \frac{4}{3} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 2 (\frac{4}{3})$

단계 2.3.1.5.2

$2$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3}$

단계 2.3.1.5.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3}$

단계 2.3.1.6

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

단계 2.3.2.3

$3$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 3 \cdot 3}{3}$

단계 2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.5.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 9}{3}$

단계 2.3.2.5.2

$8$ 를 $9$ 에 더합니다.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{17}{3}$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 2.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{17}{3}$

단계 2.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{17}{3}$

단계 3