미적분 예제

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 2

$2$ 와 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 3

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.5

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.8

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.8.3

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ 에 $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

단계 5

지수를 더하여 $x - 1$ 에 ${(x - 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x - 1$ 에 ${(x - 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

단계 5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

단계 5.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 2) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.3.2

$x - 1 - x - 1 \cdot 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.3.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.3.4

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{(2 x + 2) \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.3.6

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.3.7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 x - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.4

$- 4 x - 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- x) - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.4.2

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.4.3

$4 (- x) + 4 (- 1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- x - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.5

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (x) - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.6

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- (x) - 1 (1))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.7

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.8

$- (x + 1)$ 을 $- 1 (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 6.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$