미적분 예제

$[(x^{2} + x^{3}) (x + 9)]$

단계 1

$f (x) = x^{2} + x^{3}$ , $g (x) = x + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + x^{3}) \frac{d}{d x} [x + 9] + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$(x^{2} + x^{3}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + x^{3}) (1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

단계 2.3

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$(x^{2} + x^{3}) (1 + 0) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} + x^{3}) \cdot 1 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

단계 2.4.2

$x^{2} + x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 가 됩니다.

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 2.7

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (2 x + 3 x^{2})$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (2 x) + (x + 9) (3 x^{2})$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + x^{3} + x (2 x) + 9 (2 x) + (x + 9) (3 x^{2})$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + x^{3} + x (2 x) + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

단계 3.4

항을 묶습니다.

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단계 3.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + x^{3} + 2 (x^{1} x) + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

단계 3.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

단계 3.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

단계 3.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

단계 3.4.5

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

단계 3.4.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 (x^{1} x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

단계 3.4.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 x^{1 + 2} + 9 (3 x^{2})$

단계 3.4.8

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 x^{3} + 9 (3 x^{2})$

단계 3.4.9

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 x^{3} + 27 x^{2}$

단계 3.4.10

$2 x^{2}$ 를 $27 x^{2}$ 에 더합니다.

$x^{2} + x^{3} + 29 x^{2} + 18 x + 3 x^{3}$

단계 3.4.11

$x^{2}$ 를 $29 x^{2}$ 에 더합니다.

$x^{3} + 30 x^{2} + 18 x + 3 x^{3}$

단계 3.4.12

$x^{3}$ 를 $3 x^{3}$ 에 더합니다.

$4 x^{3} + 30 x^{2} + 18 x$