미적분 예제

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

단계 1

${(x - 4)}^{2}$ 을 $(x - 4) (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 4) (x - 4)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

단계 3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

단계 3.1.3

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)]$

단계 3.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)]$

단계 4

$f (x) = x^{2} - 8 x + 16$ , $g (x) = 4 x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [4 x - 4] + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $4 x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$(x^{2} - 8 x + 16) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

단계 5.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

단계 5.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

단계 5.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + 0) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

단계 5.6

식을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} - 8 x + 16) \cdot 4 + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

단계 5.6.2

$x^{2} - 8 x + 16$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \cdot (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

단계 5.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 8 x + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

단계 5.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

단계 5.9

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

단계 5.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

단계 5.11

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16])$

단계 5.12

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + 0)$

단계 5.13

$2 x - 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x - 8)$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

단계 6.5

항을 묶습니다.

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단계 6.5.1

$- 8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} - 32 x + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

단계 6.5.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

단계 6.5.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x \cdot x - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

단계 6.5.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

단계 6.5.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x^{1}) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

단계 6.5.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{1 + 1} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

단계 6.5.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

단계 6.5.8

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

단계 6.5.9

$- 8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x - 4 \cdot - 8$

단계 6.5.10

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x + 32$

단계 6.5.11

$- 8 x$ 에서 $32 x$ 을 뺍니다.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 40 x + 32$

단계 6.5.12

$4 x^{2}$ 를 $8 x^{2}$ 에 더합니다.

$12 x^{2} - 32 x + 64 - 40 x + 32$

단계 6.5.13

$- 32 x$ 에서 $40 x$ 을 뺍니다.

$12 x^{2} - 72 x + 64 + 32$

단계 6.5.14

$64$ 를 $32$ 에 더합니다.

$12 x^{2} - 72 x + 96$