미적분 예제

$e^{3 \ln (x^{2})}$

단계 1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 \ln (x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 \ln (x^{2})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 \ln (x^{2})$ 로 바꿉니다.

$e^{3 \ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

단계 2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \ln (x^{2})$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ 입니다.

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})])$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 3.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$e^{3 \ln (x^{2})} (\frac{3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2

$\frac{3}{x^{2}}$ 와 $e^{3 \ln (x^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} (2 x)$

단계 4.4

항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$2$ 와 $\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (3 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}} x$

단계 4.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} x$

단계 4.4.3

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})} x}{x^{2}}$

단계 4.4.4

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.4.1

$6 e^{3 \ln (x^{2})} x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}}$

단계 4.4.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.4.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

단계 4.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

단계 4.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (x^{2})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{6 e^{\ln ({(x^{2})}^{3})}}{x}$

단계 5.1.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{6 {(x^{2})}^{3}}{x}$

단계 5.1.3

${(x^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{6 x^{2 \cdot 3}}{x}$

단계 5.1.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{6}}{x}$

단계 5.2

$x^{6}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$6 x^{6}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (6 x^{5})}{x}$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x (6 x^{5})}{x^{1}}$

단계 5.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

단계 5.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

단계 5.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6 x^{5}}{1}$

단계 5.2.2.5

$6 x^{5}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 x^{5}$