미적분 예제

$y = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

단계 1

$f (x) = x^{3} + 8$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 8] - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 2) (3 x^{2}) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.4.2

$x + 2$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.7

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 x + 3 \cdot 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.1.1.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.1.1.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.2

$3 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.5

$2 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1

$2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{3}) + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.5.2

$6 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.5.3

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.5.4

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 3.5.5

$2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$