미적분 예제

$f (x) = e^{3 x^{3} + 1} \ln (2 x^{3} + 3)$

단계 1

$f (x) = e^{3 x^{3} + 1}$ , $g (x) = \ln (2 x^{3} + 3)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{3 x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 3)] + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 2 x^{3} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x^{3} + 3$ 로 바꿉니다.

$e^{3 x^{3} + 1} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$e^{3 x^{3} + 1} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x^{3} + 3$ 로 바꿉니다.

$e^{3 x^{3} + 1} (\frac{1}{2 x^{3} + 3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{2 x^{3} + 3}$ 와 $e^{3 x^{3} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3] + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 3.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 3.6

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (6 x^{2} + 0) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 3.7

분수를 통분합니다.

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단계 3.7.1

$6 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (6 x^{2}) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 3.7.2

$6$ 와 $\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} x^{2} + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 3.7.3

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x^{3} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1])$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 5.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 5.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 5.4

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 5.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2} + 0))$

단계 5.6

$9 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2}))$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2}))$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 x^{3} + 3}{2 x^{3} + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \frac{\ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2})) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2})) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.1.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 9 \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.2

$9$ 를 로그 안으로 옮겨 $9 \ln (2 x^{3} + 3)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) (2 x^{3}) + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) \cdot 3}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{2} x^{3} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) \cdot 3}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.5

$\ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) \cdot 3$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.1.5.1

$\ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9})$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{2} x^{3} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot (3 \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}))}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.5.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{2} x^{3} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.1.1.6.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.1.6.1.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} (x^{3} x^{2}) + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{3 + 2} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.6.1.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.6.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{2}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.6.3

${({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.1.1.6.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9 \cdot 2}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.6.3.2

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.6.4

${({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.1.1.6.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9 \cdot 3})}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.1.6.4.2

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.1.2

$6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{6 x^{2} e^{3 x^{3} + 1} + x^{5} e^{3 x^{3} + 1} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) + x^{2} e^{3 x^{3} + 1} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$

단계 8.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + e^{3 x^{3} + 1} x^{5} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$