미적분 예제

$y = \ln (\sec (x) + \tan (x))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sec (x) + \tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\sec (x) + \tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $\sec (x) + \tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 3

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 4

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 5.3

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ 와 $\sec (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 5.3.2

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ 와 $\tan (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 5.4

$\sec^{2} (x)$ 와 $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 5.6

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.6.1

$\sec (x) \tan (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 5.6.2

$\sec^{2} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

단계 5.6.3

$\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$