미적분 예제

$y = \ln (x^{2} e^{x})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 5.2.2

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 5.2.3

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 5.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 5.2.4

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 5.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 5.2.5

$e^{x}$ 와 $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

단계 5.2.6

$2$ 와 $\frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

단계 5.2.7

$\frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

단계 5.2.8

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

단계 5.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + \frac{2 x}{x^{2}}$

단계 5.2.9

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.9.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$1 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

단계 5.2.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.9.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

단계 5.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

단계 5.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$1 + \frac{2}{x}$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{x} + 1$